Hallo, willkommen zur Reihe Exponentialgleichungen lösen In diesem Teil geht es um den Logarithmus. Exponentialgleichungen sind Gleichungen der Form a^x = b bzw. Gleichungen, in denen eine gesuchte Variable (x) im Exponenten vorkommt. Aufgabe ist es nun, an die gesuchte Variable zu kommen. Schauen wir uns einfache Gleichungen wie 3^x = 27 an, so können wir leicht durch Ausprobieren oder Raten herausfinden: x=3. Bei anderen Gleichungen geht das nicht so einfach, bspw. 3^x = 20. Die Lösung ist zwischen 2 und 3 zu finden. Wer sich an die Intervallschachtelung bei quadratischen Gleichungen erinnert, der kann das gerne mal ausprobieren. Spoiler: es macht keinen Spaß! Aber es gibt eine Möglichkeit, mit Hilfe des Taschenrechners das einfach auszurechnen: Der Logarithmus! Mathematische gesehen ist der Logarithmus die Umkehroperation zum Potenzieren. Genauso wie Wurzel-Ziehen die Umkehroperation zum Quadrieren ist. Es gilt also: a^x = b genau dann wenn x = log_a(b) Dabei nennt man a die Basis und b das Argument. Gesprochen: Der Logarithmus von b zur Basis a ergibt... Ich zeige kurz die Taste beim TI-30X Plus: Hier tippe ich ein: 3x log-Taste, Basis 3, Wert: 20 Und schon erhalte ich einen Wert von etwa 2,727., Der einfache Taschenrechner von Android hat auch eine Log-Taste. Wenn ihr ausführlicheres haben wollt, dann ist der Wissenschaftliche Taschenrechner von GeoGebra eine gute Wahl. Am Desktop finde ich Speedcrunch gut geeignet. Wichtig: Falls es bei euch nicht die Möglichkeit für diesen Log mit einer anderen Basis gibt, dann hilft euch folgender Trick: log_a(b) = log(b)/log(a) Probiert das gerne mit dem Taschenrechner aus. Wir rechnen ein paar Beispiele: 4^x = 20 Daraus folgt x = log_4(20) etwa 2,16, 51^x = 200 Daraus folgt x = log_51(200) etwa 1,34, Zum Üben hier ein paar weitere Gleichungen mit den Ergebnissen. Probiere selbst aus, ob du auf die gleichen Werte kommst. Ansonsten bespreche ich gleich die Lösungen ausführlicher. 0,5^x = 2 => x=log_0,5(2) = -1, 2^x = 0,5 => x=log_2(0,5)=-1, 3,141^x = 5 => x=log_3,141(5) = 1,406, (-2)^x = 4 => Fehler, Du merkst, dass der Logarithmus für negative Basen nicht definiert ist. Trotzdem findet man manchmal eine Lösung, wie bspw. bei (-2)^x = 4, nämlich x=2. Was man häufig nur braucht, ist der sogenannte natürliche Logarithmus zur Basis e. Die Eulersche Zahl e ist ungefähr 2,718. Für sie gibt es den Logarithmus ln bei vielen Taschenrechnern direkt. Es gilt log_e(b) = ln(b). Die Regeln sind aber immer noch die gleichen: e^x = 5 Daraus folgt x = ln(5) Berechne den Exponenten folgender Gleichungen: e^x = 4, e^x = 2, e^x = 0,5, Auch der natürliche Logarithmus ist für negative Zahlen nicht definiert.